La+transformada+de+Fourier

Se denomina así en matemática a una aplicación en honor a Joseph Fourier, que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definida en la recta, con otra función g. Básicamente la Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo __,__ al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. En otras palabras, la Transformada de Fourier es una aplicación lineal y esta definida y goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. de una función.

si se transforma en  mediante una **transformada integral**, entonces se puede recuperar la función  mediante otra transformada integral, , llamada **transformada inversa**. A las funciones y  se les llama núcleos de sus transformadas respectivas.

Definición formal
Sea //f// una función Lebesgue integrable:


 * [[image:http://www.wikimatematica.org/mimetex.cgi?f%20%5Cepsilon%20L%5E1%28R%29%20o%20f%20%5Cepsilon%20L%5E1%28C%29 caption="f \epsilon L^1(R) o f \epsilon L^1(C)"]] ||

La transformada de Fourier de //f// es la función


 * [[image:http://www.wikimatematica.org/mimetex.cgi?%5Cmathfrak%7BF%7D%5Cleft%5C%7Bt%7D%5Cright%5C%7D%3A%5Cepsilon%20-%3E%20%5Chat%7Bf%7D%28%5Cepsilon%29%20%3A%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7B-j%5Comega%5Cepsilon%20t%7Ddt%20%3D%20F%28%5Comega%29 caption="\mathfrak{F}\left\{t}\right\}:\epsilon -> \hat{f}(\epsilon) := \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega\epsilon t}dt = F(\omega)"]] ||

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier //F(f)// es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que //F(f)// es continua. La transformada de Fourier inversa de una función integrable //f// está definida por:


 * [[image:http://www.wikimatematica.org/mimetex.cgi?%5Cmathfrak%7BF%7D%5E%7B-1%7D%5Cleft%5C%7B%7BF%28%5Comega%29%7D%5Cright%5C%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7DF%28%5Comega%29e%5E%7Bj%5Comega%20t%7Dd%5Comega%20%3D%20f%28t%29 caption="\mathfrak{F}^{-1}\left\{{F(\omega)}\right\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega = f(t)"]] ||

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.

Transformada de Fourier

 * [[image:http://www.wikimatematica.org/mimetex.cgi?%5Cmathfrak%7BF%7D%5Cleft%5C%7B%7Bf%28t%29%7D%5Cright%5C%7D%20%3D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df%28t%29e%5E%7B-j%5Comega%20t%7Ddt%20%3D%20F%28%5Comega%29 caption="\mathfrak{F}\left\{{f(t)}\right\} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt = F(\omega)"]] ||

Transformada Inversa de Fourier

 * [[image:http://www.wikimatematica.org/mimetex.cgi?%5Cmathfrak%7BF%7D%5E%7B-1%7D%5Cleft%5C%7B%7BF%28%5Comega%29%7D%5Cright%5C%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%20%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7DF%28%5Comega%29e%5E%7Bj%5Comega%20t%7Dd%5Comega%20%3D%20f%28t%29 caption="\mathfrak{F}^{-1}\left\{{F(\omega)}\right\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega = f(t)"]] ||

Transformada de Fourier de funciones simples




= Serie de Fourier = Una **serie de Fourier** es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés **Jean-Baptiste Joseph** Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Las series de Fourier tienen la forma:

>

Donde y  se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

media type="youtube" key="4d0Uf4tfZgI" width="648" height="453" align="center"
 * Ejemplo de forma: serie de Furier**

= = = Serie de Fourier Explicacion y ejemplo = media type="youtube" key="_VgSGpaeU0I" width="560" height="315"